Πολλοί φοιτητές που σπουδάζουν προηγμένα μαθηματικά σε προχωρημένα μαθήματα έχουν αναρωτηθεί πιθανώς: Πού χρησιμοποιούνται οι πρακτικές διαφορικές εξισώσεις (DEs); Κατά κανόνα, το θέμα αυτό δεν συζητείται στις διαλέξεις και οι εκπαιδευτικοί προχωρούν άμεσα στην επίλυση της θεωρίας ελέγχου χωρίς να εξηγούν στους μαθητές τη χρήση διαφορικών εξισώσεων στην πραγματική ζωή. Θα προσπαθήσουμε να γεμίσουμε αυτό το κενό.
Ξεκινάμε καθορίζοντας μια διαφορική εξίσωση. Έτσι, μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συνδέει την αξία μιας παράγωγης συνάρτησης με την ίδια τη συνάρτηση, τις τιμές μιας ανεξάρτητης μεταβλητής και ορισμένους αριθμούς (παραμέτρους).
Ο πιο κοινός χώρος στον οποίο εφαρμόζονται διαφορικές εξισώσεις είναι η μαθηματική περιγραφή των φυσικών φαινομένων. Χρησιμοποιούνται επίσης στην επίλυση προβλημάτων όπου είναι αδύνατο να δημιουργηθεί μια άμεση σχέση μεταξύ ορισμένων αξιών που περιγράφουν μια διαδικασία. Τέτοια καθήκοντα προκύπτουν στη βιολογία, στη φυσική και στην οικονομία.
Στη βιολογία:
Το πρώτο ουσιαστικό μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει τις βιολογικές κοινότητες ήταν το μοντέλο Lotka-Volterra. Περιγράφει έναν πληθυσμό δύο αλληλεπιδρώντων ειδών. Ο πρώτος από αυτούς, που ονομάζεται θηρευτής, πεθαίνει σύμφωνα με το νόμο x '= -ax (a> 0) απουσία του δεύτερου και ο δεύτερος θύματα, απουσία αρπακτικών, πολλαπλασιάζεται απεριόριστα σύμφωνα με τον νόμο Malthus. Η αλληλεπίδραση αυτών των δύο ειδών διαμορφώνεται ως εξής. Τα θύματα πεθαίνουν με ρυθμό ίσο με τον αριθμό των συναντήσεων των θηρευτών και των θυμάτων, το οποίο σε αυτό το μοντέλο θεωρείται ότι είναι ανάλογο του αριθμού και των δύο πληθυσμών, δηλαδή ίσο με dxy (d> 0). Επομένως, y '= από - dxy. Οι θηρευτές αναπαράγουν με ρυθμό ανάλογο με τον αριθμό των θηραμάτων που καταναλώνονται: x '= -ax + cxy (c> 0). Σύστημα εξισώσεων
x '= -ax + cxy, (1)
y '= με - dxy, (2)
περιγράφοντας έναν τέτοιο πληθυσμό, ένα αρπακτικό ζώο είναι ένα θήραμα και ονομάζεται σύστημα δίσκων - Volterra (ή μοντέλο).
Στη φυσική:
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης
m (d ^ 2) χ) / (dt ^ 2) = F (χ, t), όπου m είναι η μάζα του σώματος, το x είναι η συντεταγμένη του, F (x, t) είναι η δύναμη που ενεργεί στο σώμα με τη συντεταγμένη x στο χρόνο t. Η λύση του είναι η τροχιά του σώματος υπό τη δράση της αναφερόμενης δύναμης.
